Question

3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，$\sqrt{3}$），点B（1，0），点C（3，0），以点P为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式和点P坐标；
（2）求证：四边形ABCP是菱形，并求出菱形ABCP面积；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的$\frac{1}{2}$？如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；
（4）如果点D是抛物线上一动点（不与A，B，C重合），当∠BDC≧30°时，请直接写出所有满足条件的D点的横坐标的范围．

Answer 1

分析 （1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，将点A、B、C的坐标代入，求出a、b、c的值，即可得出解析式及点P坐标；
（2）根据点A、P坐标，可得AP∥BC，AP=BC=2，得出四边形为平行四边形，然后根据圆的半径AP=PC，可证明四边形ABCP是菱形，并求出菱形ABCP面积；
（3）因为△ABP和△CBP的面积是菱形ABCP面积的$\frac{1}{2}$，故过点A、C作BP的平行线，与抛物线的交点即是满足条件的点M；
（4）根据题意，可得出三角形PBC为等边三角形，然后根据圆周角定理可得出∠BAC=∠BEC=30°，然后根据点D是抛物线上一动点（不与A，B，C重合），∠BDC≧30°，求出点D的横坐标取值范围．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
二次函数的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，点P坐标为：P（2，$\sqrt{3}$）；

（2）∵点A（0，$\sqrt{3}$），点P（2，$\sqrt{3}$），
∴AP∥BC，
∵AP=BC=2，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∵AP=AB，
∴四边形ABCP是菱形，
菱形ABCP面积为：2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；

（3）∵点B（1，0），点P（2，$\sqrt{3}$），
∴BP的解析式为：y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$；
则过点A平行于BP的直线解析式为：y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
过点C平行于BP的直线解析式为：y=$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$，
从而可得①：$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
解得：x₁=0，x₂=7，
从而可得满足题意的点M的坐标为（0，$\sqrt{3}$）、（7，8$\sqrt{3}$）；
②$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
解得：x₁=3，x₂=4，
从而可得满足题意的点M的坐标为：（3，0）、（4，$\sqrt{3}$）；
综上可得点M的坐标为（0，$\sqrt{3}$），（3，0），（4，$\sqrt{3}$），（7，8$\sqrt{3}$）；

（4）连接PB、PC、AC、BE，
∵PB=PC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠BAC=∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BPC=30°，
∵点D是抛物线上一动点（不与A，B，C重合），
∴要使∠BDC≧30°，
则点D横坐标需要满足：0＜x＜1或1＜x＜3或3＜x≤4．

点评 此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形、菱形、等边三角形的判定与性质以及圆周角定理，知识点较多，难点在第三问，关键是利用平行线的性质得出点M的寻找办法，难度较大．