Question

【题目】如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：

（1）点A、B的坐标；

（2）抛物线的函数表达式；

（3）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM的最小值及点M的坐标；

（4）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标为（1，0）．点B的坐标为（0，3）．（2）y=x2﹣4x+3．（3）M（2，1）．（4）点P的坐标为（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．

【解析】

试题分析：（1）将x=0代入直线的解析式可求得点B的坐标，将y=0代入直线的解析式可求得点A的坐标；

（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、k的方程组，求得a、k的值，从而可求得抛物线的解析式；

（3）先求得抛物线的对称轴方程，从而可求得点C的坐标，由轴对称图形的性质可知AM+BM=BM+MC，当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，在Rt△BOC中，由勾股定理可求得BC的长，从而得到AM+BM的最小值，然后由△CDM∽△COB，可求得DM=1，从而得到点M的坐标；

（4）设点P的坐标为（2，m），然后分为AP=PB，AP=AB，BA=BP三种情况列方程求解即可．

解：（1）∵将x=0代入直线的解析式得：y=3，

∴点B的坐标为（0，3）．

∵将y=0代入直线的解析式得：﹣3x+3=0，解得：x=1．

∴点A的坐标为（1，0）．

（2）将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得：，

解得：a=1，k=﹣1．

抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（3）如图所示：连接BC交抛物线的对称轴于点M，连接AM．

∵由题意可知抛物线的对称轴为x=2，

∴点C的坐标为（3，0）．

∵点A与点M关于x=2对称，

∴AN=MC．

∴AM+BM=BM+MC．

∵当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，AM+BM的最小值为BC的长．

∴AM+BM的最小值==3．

∵MD∥OB，

∴△CDM∽△COB．

∴，即．

解得：MD=1．

∴M（2，1）．

（4）设点P的坐标为（2，m）．

①当PA=PB时，由两点间的距离公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．

整理得：6m=12．

解得：m=2．

点P的坐标为（2，2）．

②当AP=AB时，由两点间的距离公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（1﹣0）2+（0﹣3）2．

整理得：m2=9．

解得：m=3或m=﹣3（舍去）．

点P的坐标为（2，3）．

③当BA=BP时，由两点间的距离公式可知：（1﹣0）2+（0﹣3）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．

整理得：（m﹣3）2=6．

解得：m=3+或m=3﹣．

点P的坐标为（2，3+）或（2，3﹣）．

综上所述，点P的坐标为（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．