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(2012•东莞)如图,抛物线y=
1
2
x2-
3
2
x-9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
分析:(1)已知抛物线的解析式,当x=0,可确定C点坐标;当y=0时,可确定A、B点的坐标,进而确定AB、OC的长.
(2)直线l∥BC,可得出△AED、△ABC相似,它们的面积比等于相似比的平方,由此得到关于s、m的函数关系式;根据题干条件:点E与点A、B不重合,可确定m的取值范围.
(3)①首先用m列出△AEC的面积表达式,△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积,由此可得关于S△CDE、m的函数关系式,根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值;
②过E做BC的垂线EM,这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径,可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值,由此得解.
解答:解:(1)已知:抛物线y=
1
2
x2-
3
2
x-9;
当x=0时,y=-9,则:C(0,-9);
当y=0时,
1
2
x2-
3
2
x-9=0,得:x1=-3,x2=6,则:A(-3,0)、B(6,0);
∴AB=9,OC=9.

(2)∵ED∥BC,
∴△AED∽△ABC,
S△AED
S△ABC
=(
AE
AB
2,即:
s
1
2
×9×9
=(
m
9
2,得:s=
1
2
m2(0<m<9).

(3)解法一:∵S△ACE=
1
2
AE•OC=
1
2
m×9=
9
2
m,
∴S△CDE=S△ACE-S△ADE=
9
2
m-
1
2
m2=-
1
2
(m-
9
2
2+
81
8

∵0<m<9,
∴当m=
9
2
时,S△CDE取得最大值,最大值为
81
8
.此时,BE=AB-AE=9-
9
2
=
9
2

记⊙E与BC相切于点M,连接EM,则EM⊥BC,设⊙E的半径为r.
在Rt△BOC中,BC=
CO2+BO2
=
117
=3
13

∵∠OBC=∠MBE,∠COB=∠EMB=90°.
∴△BOC∽△BME,
ME
OC
=
EB
CB

r
9
=
9
2
117

∴r=
81
2
117
=
27
13
26

∴所求⊙E的面积为:π(
81
2
117
2=
729
52
π.
解法二:∵S△AEC=
1
2
AE•OC=
1
2
m×9=
9
2
m,
∴S△CDE=S△AEC-S△ADE=
9
2
m-
1
2
m2=-
1
2
(m-
9
2
2+
81
8

∵0<m<9,
∴当m=
9
2
时,S△CDE取得最大值,最大值为
81
8
.此时,BE=AB-AE=9-
9
2
=
9
2

∴S△EBC=
1
2
S△ABC=
81
4

如图2,记⊙E与BC相切于点M,连接EM,则EM⊥BC,设⊙E的半径为r.
在Rt△BOC中,BC=
92+62
=
117

∵S△EBC=
1
2
BC•EM,
1
2
×
117
r=
81
4

∴r=
81
2
117
=
27
13
26

∴所求⊙E的面积为:π(
81
2
117
2=
729
52
π.
点评:该题主要考查了二次函数的性质、相似三角形的性质、图形面积的求法等综合知识.在解题时,要多留意图形之间的关系,有些时候将所求问题进行时候转化可以大大的降低解题的难度.
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34
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3-
1
3
π
3-
1
3
π
(结果保留π).

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