Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别为S₁，S₂，S₃，且S₁+S₃=4S₂，若将梯形上底AB沿BC方向平移至下底CD上的CE处，连AE，则下列结论：
①AE∥BC；②AE=BC；③

AB

DC

=

1

2

；④

DC2-AD2-BC2

AB2

=5．
其中正确的结论的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：梯形,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：①由平移的性质，即可得AE∥BC；
②易得四边形ABCE是平行四边形，则可得AE=BC；
③分别用斜边AD、AB、BC把S₁、S₂、S₃表示出来，然后根据S₁+S₃=4S₂求出AD、AB、BC之间的关系．可得△ADE是直角三角形，利用勾股定理即可发现CD和AB之间的关系．
④由③即可求得

DC2-AD2-BC2

AB2

=5．

解答：解：①如图，根据平移的性质，可得AE∥BC，故①正确；

②∵AB∥CD，AE∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE=BC，故②正确；

③解：∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃，
∴S₁=

AD2

4

，S₂=

AB2

4

，S₃=

BC2

4

，
∵S₁+S₃=4S₂，
∴AD²+BC²=4AB²，
∵AE=BC，EC=AB，
∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠ADC+∠AED=90°，
∴AD²+AE²=DE²，
∴AD²+BC²=DE²，
∴DE²=4AB²，
∴DE=2AB，
∴CD=3AB．
∴

AB

DC

=

1

3

，故③错误；

④∵AD²+BC²=4AB²，CD=3AB，
∴

DC2-AD2-BC2

AB2

=

9AB2-4AB2

AB2

=5．
故④正确．
故选C．

点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．