Question

（2012•宁波一模）已知：如图，Rt△ABC外切于⊙O，切点分别为E、F、H，∠ABC=90°，直线FE、CB交于D点，连接AO、HE，则下列结论：
①∠FEH=45°+∠FAO；②BD=AF；③AB²=AO•DF；④AE•CH=S_△ABC
其中正确的是（　　）

A．①②③④

B．①③④

C．②③④

D．①②③

Answer 1

分析：连接OE，OH，OF，OB，
①由切线的性质和四边形的内角和即可得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，再圆周角定理即可得到证明结论正确；
②根据已知条件知道四边形OEBH是正方形，然后证明△BDE≌△FAO，然后利用全等三角形的对应边相等即可得出结论；
③根据已知条件可以证明△DFH∽△ABO，根据相似三角形的对应边成比例和已知条件即可证明结论正确；
④根据直角三角形的面积公式直接解答即可．

解答：解：①连接OE，OH，则OE⊥AB，OH⊥BC，
得出：∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，
根据圆周角定理得∠FEH=

1

2

∠FOH=45°+∠FAO，故此选项正确；

②连接OF，由①得四边形OEBH是正方形，
则圆的半径=BE，
∴OF=BE，
又∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE，
则△BDE≌△FAO（SAS），
∴BD=AF；
故此选项正确；

③∵Rt△ABC外切于⊙O，切点分别为E、F、H，
∴BE=BH，AF=AE，
根据②得BD=AF，
∴BD=AE（等量代换），
∴AB=DH；
连接OB、FH．
∵∠D=∠BAO，∠EFH=∠OBA=45°，
∴△DFH∽△ABO，
则DH•AB=AO•DF，又AB=DH，
所以AB²=AO•DF；故此选项正确．

④设△ABC的三边分别为a，b，c，则AE=

b+c-a

2

，CH=

a+b-c

2

，AE•CH=

(b+c-a)(a+b-c)

4

=

ab

2

=S_△ABC．
故S_△ABC=

1

2

AB•BC=AE•CH；
故此选项正确；
综上所述，正确的说法有①②③④；
故选A．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心．此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理、圆周角定理和相似三角形的性质和判定，综合性比较强．