Question

2．如图，直线EF交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）若∠ADE=15°，弧$\widehat{DA}$的长为$\frac{1}{3}π$，求⊙O的半径；
（3）在（2）条件下求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，得出∠OAD=∠ODA，再证明∠EAD=∠ODA，得出结论；
（2）首先求得∠EAD=∠ODA=75°，进一步得出∠DOA=30°，利用弧长计算公式得出答案即可；
（3）作OF⊥AB于点F，求得∠OAB=30°，利用含30°角的直角三角形、勾股定理和垂径定理得出答案即可．

解答 （1）证明：如图，

连接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，OD⊥DE，
又∵DE⊥EF，
∴OD∥EF，
∴∠ODA=∠DAE，
∴∠DAE=∠OAD，
∴AD平分∠CAE；
（2）解：∵∠ADE=15°，
∴∠OAD=∠ODA=75°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=75°，
∴∠DOA=30°，
∴$\frac{30π×OA}{360}$=$\frac{1}{3}$π，
∴OA=4；
（3）解：如图，

作OF⊥AB于点F，
则AF=FB，
∵∠OAD=∠ODA=75°，
∴∠OAF=30°，
∴OF=2，
AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AF=4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查切线的性质，等腰三角形的性质，弧长计算公式，垂径定理，含30°直角三角形的性质，勾股定理，正确做出辅助线是解决问题的关键．