Question

9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点E在对角线AC上，且∠1=∠2，AB=5，BC=AD=$\sqrt{10}$，CD=3．
（1）求证：△CDE∽△ABC；
（2）求：$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD，得到∠ACD=∠CAB，根据已知条件∠1=∠2，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{CD}{AB}$）²=$\frac{9}{25}$，由CD∥AB，于是得到△ACD与△ABC的高相等．求得$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{CD}{AB}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{15}{25}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵∠1=∠2，
∴△CDE∽△ABC；

（2）∵△CDE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{CD}{AB}$）²=$\frac{9}{25}$，
∵CD∥AB，
∴△ACD与△ABC的高相等．
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{CD}{AB}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{15}{25}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△ADE}-{S}_{△CDE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{6}{25}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．