Question

23、如图，AD切⊙O于点A，直径BC，交AD于D，AE⊥BD于E．请根据图形将线段成比例的式子写出来（至少写出4个．一个比例式和由它变形得出的比例式按一个计算）．并证明其中的一个比例式成立．

Answer 1

分析：根据题意可知：①∠BAC=90°，②∠OAD=90°，③AC和AB分别是△AED内、外角的平分线，④∠DAC=∠DBA，推出Rt△ABC∽Rt△EBA∽Rt△EAC，△ABD∽△CAD，可得AB：BE=AC：AE，AB：BC=AE：AC，AC：BC=EC：AC，AB：AC=BD：AD=AD：CD，（2）由题意推出AB⊥AC，AE⊥BC，推出△ABE∽△AEC，即可推出结论．

解答：解：（一）①AB：BE=AC：AE，②AB：BC=AE：AC，③AC：BC=EC：AC，④AB：AC=BD：AD=AD：CD
（二）例：证明图1中AB：BE=AC：AE
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AE⊥BC于E，
∴∠AEB=90°∠B=∠B，
∴Rt△BAC∽Rt△BEA，
∴AB：BE=AC：AE．

点评：本题主要考察圆周角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理，解题关键在于找到图中相似的三角形．