Question

如图，AB、AC切⊙O于B、C，BC交OA于D，AB=10，AD=8，
（1）线段AO与BC有何关系？并说明理由；
（2）求BC的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质得到OB⊥AB，OC⊥AC，易证Rt△OBA≌Rt△OCA，得到AB=AC，∠BAO=∠CAO，根据等腰三角形的三线合一得到AD垂直平分BC，即有OA垂直平分BC；
（2）根据垂直平分线的性质得到BD⊥AD，BD=CD，在Rt△ABD中利用勾股定理计算出BD，即可得到BC的长．

解答：解：（1）OA垂直平分BC．理由如下：
∵AB、AC切⊙O于B、C，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
而OB=OC，
∴Rt△OBA≌Rt△OCA，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAO，
∴AD垂直平分BC，
即OA垂直平分BC；

（2）∵OA垂直平分BC．
∴BD⊥AD，BD=CD，
在Rt△ABD中，AB=10，AD=8，
∴BD=

AB2-AD2

=

102-82

=6，
∴BC=2BD=12．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．