Question

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，∠C=30°，点D是AC边上一动点（不与A、C重合），过点D分别作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交BC于点F，联结EF，设AE=x，EF=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）以F为圆心FC为半径的⊙F交直线AC于点G，当点G为AD中点时，求x的值；
（3）如图2，联结BD将△EBD沿直线BD翻折，点E落在点E′处，直线BE′与直线AC相交于点M，当△BDM为等腰三角形时，求∠ABD的度数．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据已知条件可证明四边形EBFD为矩形，则ED∥BF，EB∥DF，即可得出∠ADE=∠C=30°，在Rt△AED中，由∠ADE=30°，AE=x，可表示出ED=

3

x，AD=2x，在Rt△BEF中，BE=5-x，BF=ED=

3

x，由勾股定理得y=

4x2-10x+25

（0＜x＜5）即可；
（2）在Rt△ABC中，由∠C=30°，AB=5，得出AC=10，BC=5

3

，从而得出FC=BC-BF=5

3

-

3

x，分三种方法：
方法1：连接EG，FG，可证明△AEG为等边三角形，则∠AGE=60°，从而得出∠EGF=90°；在Rt△EGF中，由勾股定理得EF²=EG²+GF²，从而得出x的值；
方法2：连接FG，作FH⊥GC交GC于点H，则CG=2CH，在Rt△CHF中，由AC=AG+CG=x+15-3x=10，得出x的值；
方法3：连接FG并延长交BA延长线于点P，由DF∥PB，则

DF

AP

=

FG

GP

=

DG

GA

，即BP=AB+AP=10-x，在Rt△BFP中，根据勾股定理得PF²=PB²+BF²，求得x1=

5

2

，x₂=10（舍去）；
（3）由翻折可得∠ABD=∠DBE′，当△BDM是等腰三角形时，∠ABD的大小存在三种情况：
当点M落在AC边上时，①当BD=BM时，∠BDM=∠BMD，求得∠ABD=20°，②当DB=DM时，∠DBM=∠DMB，求得∠ABD=40°；
当点M在CA延长线上时，③当BD=BM时，∠BDM=∠BMD，根据∠ADB+∠M=∠DBE′，得∠ADB=

1

2

∠ABD，求得∠ABD=80°．

解答：解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠DEB=∠DFB=∠ABC=90°，
∴四边形EBFD为矩形，
∴ED∥BF，EB∥DF
∴∠ADE=∠C=30°，
在Rt△AED中，∠ADE=30°，AE=x
∴ED=

3

x，AD=2x，∠BAC=60°
在Rt△BEF中，BE=5-x，BF=ED=

3

x
∴EF=

BF2+BE2

∴y=

4x2-10x+25

（0＜x＜5），
（2）在Rt△ABC中，∠C=30°，AB=5
∴AC=10，BC=5

3

，
∴FC=BC-BF=5

3

-

3

x
方法1：
连接EG，FG，如图2，
在Rt△AED中，G为AD中点
∴EG=AG=AE
∴△AEG为等边三角形
∴∠AGE=60°，
∵FC=FG
∴∠FGC=∠C=30°
∴∠EGF=90°，
在Rt△EGF中，EF²=EG²+GF²
∴4x2-10x+25=x2+(5

3

-

3

x)2
∴x=

5

2

，
方法2：
连接FG，作FH⊥GC交GC于点H，如图2，
∴CG=2CH，
在Rt△CHF中，HC=

3

2

FC=

15-3x

2

，
∴CG=15-3x，
∵AC=AG+CG=x+15-3x=10，
∴x=

5

2

，
方法3：
连接FG并延长交BA延长线于点P，如图3，
∵DF∥PB，
∴

DF

AP

=

FG

GP

=

DG

GA

，
∴BP=AB+AP=10-x，
FP=2FG=10

3

-2

3

x
在Rt△BFP中，PF²=PB²+BF²，
∴2x²-25x+50=0，
∴x1=

5

2

，x₂=10（舍去）；
（3）由翻折可得∠ABD=∠DBE′，△BDM是等腰三角形时，∠ABD的大小存在三种情况：
当点M落在AC边上时，
①当BD=BM时，∠BDM=∠BMD，
∵∠A+∠ABM+∠AMB=180°，
∴60°+2∠ABD+

1800-∠ABD

2

=180°
∴∠ABD=20°，
②当DB=DM时，∠DBM=∠DMB
∵∠A+∠ABM+∠AMB=180°
∴3∠ABD+∠A=180°
∴∠ABD=40°，
当点M在CA延长线上时，
③当BD=BM时，∠BDM=∠BMD，
∵∠ADB+∠M=∠DBE′，
∴∠ADB=

1

2

∠ABD，
∵∠BAC+∠ABD+∠ADB=180°，
∴60°+∠ABD+

1

2

∠ABD=180°，
∴∠ABD=80°．

点评：本题考查了相似图形的综合运用，还考查了等腰三角形的判定、矩形的判定以及勾股定理的应用，分类讨论思想的运用，是一道综合性较强的题目，难度较大．