Question

如图，已知正比例函数y=ax（a≠0）的图象与反比例函致y=

k

x

（k≠0）的图象的一个交点为A（-1，2-k²），另一个交点为B，且A、B关于原点O对称，D为OB的中点，过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E．
（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式；
（2）试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍？

Answer 1

分析：（1）把A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到关于k的方程，从而求得k的值．得到反比例函数解析式以及A的坐标，再利用待定系数法即可求得正比例函数解析式；
（2）证明△COE与△ODE相似，求得相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解．

解答：解：（1）由图知k＞0，a＞0，
∵点A（-1，2-k²）在y=

k

x

图象上，
∴2-k²=-k，即k²-k-2=0，解得k=2（k=-1舍去），
得反比例函数为y=

2

x

．
此时A（-1，-2），代入y=ax，解得a=2，
∴正比例函数为y=2x．

（2）过点B作BF⊥x轴于F．
∵A（-1，-2）与B关于原点对称，
∴B（1，2），即OF=1，BF=2，得OB=

5

．
由图，易知Rt△OBF∽Rt△OCD，
∴OB：OC=OF：OD，而OD=

OB

2

=

5

2

∴OC=

OB•OD

OF

=2.5．
由Rt△COE∽Rt△ODE，
得

S△COE

S△ODE

=(

OC

OD

)2=(

5

2

×

2

5

)2=5．
所以△COE的面积是△ODE面积的5倍．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，并且运用了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．