Question

9．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；
（3）若tan∠CEB=$\frac{3}{4}$，BE=5$\sqrt{2}$，求AC、BC的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠OAC=∠OCA，再判断出OC∥AD，即可得出结论；
（2）先判断出∠CAD+∠ACD=90°，进而得出∠PFC=∠PCF即可得出结论；
（3）先求出AB=10，再找出3CA=4BC，最后用勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．
即AC平分∠DAB．

（2）PC=PF．
理由：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAB=∠CAD=∠PCB． 
又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．
∴∠PFC=∠PCF．
∴PC=PF． 

（3）如图2，连接AE．∵∠ACE=∠BCE，
∴$\widehat{AE}=\widehat{BE}$，
∴AE=BE．
 又∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．AB=$\sqrt{2}$BE=10，
∵tan∠CEB=tan∠CAB=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BC}{CA}$=$\frac{3}{4}$．
设BC=3x，则CA=4x，
在Rt△ABC中，（3x）²+（4x）²=100
解得x=-2（舍）或x=2，
∴BC=6，AC=8．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆的切线的性质，解平分线的定义，锐角三角函数，勾股定理，解（1）的关键是得出OC∥AD，解（2）的关键是得出∠CAB=∠CAD=∠PCB，解（3）的关键是用勾股定理建立方程，是一道中等难度的中考常考题．