Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，E，D，F分别是边AB，BC，AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=6，求四边形AEDF的周长．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）首先根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DF∥AB，ED=

1

2

AC，DF=

1

2

AB，进而可判定四边形AEDF是平行四边形，然后证明ED=DF即可；
（2）过E作EM⊥BD，根据题意可得BD长，然后再根据等腰三角形的性质可得BM=

1

2

BD=1.5，然后再利用勾股定理可得ED长，进而可得菱形周长．

解答：（1）证明：∵E，D，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，ED=

1

2

AC，DF=

1

2

AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AB=AC，
∴ED=DF，
∴四边形AEDF是菱形；

（2）解：过E作EM⊥BD，
∵E为AB中点，
∴AE=EB，
∵四边形AEDF是菱形，
∴AE=ED=EB，
∵BC=6，D是BC中点，
∴DB=3，
∵EM⊥BD，
∴BM=

1

2

BD=1.5，
∵∠B=30°，
∴EM=

1

2

BE，
∵EM²+MB²=EB²，
∴（

1

2

EB）²+MB²=EB²，
∴BE=

3

，
∴ED=

3

，
∴四边形AEDF的周长为4

3

．

点评：此题主要考查了菱形的判定和性质，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，菱形四边相等．