Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

解：（1）由图可知y=过点A（2，2），B（-1，m），
把A（2，2）代入y=得：2=，即n=4，
∴反比例函数的关系式为：y=，
把B（-1，m）代入y=得：m==-4，
∴点B的坐标为（-1，-4），
把点A（2、2）和点B（-1，-4）代入y=kx+b得：
解，
得：
则一次函数的关系式为：y=2x-2；

（2）由图象可知：
当x＜-1或0＜x＜2时，一次函数的值小于反比例函数的值；


（3）设一次函数y=2x-2与y轴的交点为点G，
令一次函数解析式中x=0，得到y=-2，
∴点G的坐标为（0，-2），OG=|-2|=2，
可得：S_△BOG=|-2|×|-1|×=1，S_△AOG=|-2|×|2|×=2，
则S_△AOB=S_△BOG+S_△AOG=1+2=3．
分析：（1）由图形得到一次函数与反比例函数的交点A和B的坐标，将将x=2，y=2代入反比例函数解析式中求出n的值，确定出反比例函数解析式，再将x=-1，y=m代入反比例解析式中求出m的值，确定出B的坐标，然后将A和B的坐标代入一次函数y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式；
（2）由A和B的横坐标及0，将x轴分为四个范围，在图形中找出一次函数在反比例函数下方的范围，即为所求的x的范围；
（3）设一次函数与y轴交于G点，令一次函数解析式中x=0求出对应的函数值，即为G的纵坐标，得出OG的长，OG将三角形AOB分为两个三角形，即三角形OBG与三角形OAG，求出即可．
点评：此题考查了反比例与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，以及坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做题时要灵活用．