Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．

（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接ME，设MN交BE于P，根据题意，得
MB=ME，MN⊥BE．（2分）
过N作AB的垂线交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠MNF．
在Rt△EBA与Rt△MNF中，
∵AB=FN，
∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，
∴（2-AM）2=x2+AM2．
4-4AM+AM2=x2+AM2，即4-4AM=x2，
解得AM=1- x2．
所以梯形ADNM的面积S= ×AD= ×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1- x2）+x=- x2+x+2
即所求关系式为s=- x2+x+2．

（2）

解：s=- x2+x+2=- （x2-2x+1）+ =- （x-1）2+

故当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是 .

【解析】（1）通过做辅助线构造全等三角形，利用勾股定理整理出相应的关系式，利用梯形的面积公式来解决问题.（2）注意对二次函数解析式整理时用顶点式进行整理简单