Question

10．如图所示，A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S_△ABP=S_△ABC，求a的值．

Answer 1

分析 过P点作PD⊥x轴，垂足为D，根据A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）求OA、OB，利用勾股定理求AB，可得△ABC的面积，利用S_△ABP=S_△AOB+S_梯形BODP-S_△ADP，列方程求a．

解答 解：过P点作PD⊥x轴，垂足为D．

由A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1），得OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∵△ABC为等边三角形，
由勾股定理，得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
又∵S_△ABP=S_△AOB+S_梯形BODP-S_△ADP
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1+$\frac{1}{2}$×（1+a）×3-$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+3）×a
=$\frac{\sqrt{3}+3-\sqrt{3}a}{2}$，
由2S_△ABP=S_△ABC，得$\sqrt{3}+3-\sqrt{3}a$=$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了点的坐标与线段长的关系，根据图形间的面积关系列出关于a的方程是解题的关键．