Question

10．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为$\frac{5}{4}$，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程即可得到结论；
（2）根据直线l：y=kx+b过A（-1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax²-2ax-3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax²-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（4）令ax²-2ax-3a=ax+a，即ax²-3ax-4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）当y=0时，ax²-2ax-3a=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
对称轴为直线x=$\frac{-1+3}{2}$=1；
（2）∵直线l：y=kx+b过A（-1，0），
∴0=-k+b，
即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax²-2ax-3a=kx+k，
即ax²-（2a+k）x-3a-k=0，
∵CD=4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴-3-$\frac{k}{a}$=-1×4，
∴k=a，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax²-2ax-3a），
则F（x，ax+a），EF=ax²-2ax-3a-ax-a=ax²-3ax-4a，
∴S_△ACE=S_△AFE-S_△CEF=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）（x+1）-$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）x=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）=$\frac{1}{2}$a（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$a，
∴△ACE的面积的最大值=-$\frac{25}{8}$a，
∵△ACE的面积的最大值为$\frac{5}{4}$，
∴-$\frac{25}{8}$a=$\frac{5}{4}$，
解得a=-$\frac{2}{5}$；
（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax²-2ax-3a=ax+a，即ax²-3ax-4a=0，
解得：x₁=1，x₂=4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一条边，
则易得Q（-4，21a），
m=21a+5a=26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD²+PD²=AP²，
∴5²+（5a）²+3²+（26-5a）²=2²+（26a）²，
即a²=$\frac{1}{7}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴P（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）；
②若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q（2，-3a），
m=5a-（-3a）=8a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD=90°，
∴AP²+PD²=AD²，
∴（-1-1）²+（8a）²+（1-4）²+（8a-5a）²=5²+（5a）²，
即a²=$\frac{1}{4}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴P（1，-4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）或（1，-4）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．