Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D．
（1）若点E是BC边上的中点，连接DE．证明：DE与半圆O相切；
（2）请你写出（1）的逆命题，并判断是否成立．为什么？
（3）若AC、AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，求直角边BC的长．

Answer 1

解：（1）连接OD、BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，则∠CDB=90°，
点E为BC的中点，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODE=∠OBD+∠EBD=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）过点D作⊙O的切线交BC于E，证明BE=CE；
证明：如图DE为⊙O切线
∴∠ODE=∠OBC=90°，
∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，
∵∠ODE=90°，
∴∠ODA+∠CDE=180°-90°=90°，
又∠C+∠A=90°，∠OAD=∠ODA，
∴∠C=∠CDE，
∴EC=ED，则EB=EC；

（3）解方程：x²-10x+24=0，
得x₁=4，x₂=6，
∵AC＞AB，∴AB=4，AC=6，
∴BC==．
分析：（1）利用圆周角定理得出∠ADB=90°，进而得出∠EDB=∠EBD，从而得出∠ODE=∠OBD+∠EBD=90°问题得证；
（2）根据（1）写出逆命题，利用DE为⊙O切线得出∠ODE=∠OBC=90°，进而得出∠C=∠CDE，得出答案；
（3）利用一元二次方程的解法得出方程的根，进而求出BC即可．
点评：此题主要考查了切线的性质定理与判定定理以及一元二次方程的解法，熟练应用切线的性质定理得出∠EDB=∠EBD是解题关键．