Question

已知：如图，AC是⊙O的直径，AB和⊙O相交于E，BC和⊙O相切于C，D在BC上，DE是⊙O的切线，E是切点，
求证：（1）OD∥AB；
（2）2DE²=BE•OD；
（3）设BE=2，∠ODE=a，则cos²a=．

Answer 1

（1）证明：连接CE，∵DC和DE都与⊙O相切，
∴DC=DE，∠CDO=∠EDO，
∴OD⊥CE．
又AC是直径，故∠CEA=90°，
即AE⊥CE，
∴OD∥AB；

（2）证明：
证法一：DE、DC是⊙O的切线，OD∥AB，故∠ODE=∠ODC=∠B．
∴Rt△BCE∽Rt△DOE，
∴BC：OD=BE：DE，
即BC•DE=OD•BE．
而DE是Rt△BCE斜边上的中线，故BC=2DE，
∴2DE²=BE•OD．

证法二：BC²=BE•BA，OD是△ABC的中位线，
∴BA=2OD，又BC=2DE，
∴4DE²=BE•2OD，
∴2DE²=BE•OD．

（3）解：
解法一：由②和已知条件得DE²=OD，即OD²-OE²=OD．
两边同除以OD²得1-（）²-，
得1-sin²a=，
∴cos²a=

解法二：注意到D是BC的中点，可知DB=DE，
∴∠DEB=∠DBE=α，于是cosa=（过D作DG⊥EB可知）．
由（2）及已知可得DE²=OD，
∴cos²a=．
分析：（1）连接CE，可证OD⊥CE，由AC是直径，可证AE⊥CE，则OD∥AB；
（2）先证明Rt△BCE∽Rt△DOE，得出BC：OD=BE：DE，根据DE是Rt△BCE斜边上的中线，故BC=2DE，则而DE是Rt△BCE斜边上的中线，故BC=2DE；
（3）可知DB=DE，得到∠DEB=∠DBE=α，则cosa=，由（2）得DE²=OD，即cos²a=．
点评：本题考查的是三角形的中位线定理，切线的性质定理，勾股定理．