Question

如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=的图象相交于点A，动点E从O点出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作EF∥y轴与直线BC交于点F，以EF为一边向x轴负方向作正方形EFMN，设正方形EFMN与△AOC的重叠部分的面积为S.

（1）求点A的坐标；

（2）求过A、B、O三点的抛物线的顶点P的坐标；

（3）当点E在线段OA上运动时，求出S与运动时间t（秒）的函数表达式；

（4）在（3）的条件下，t为何值时，S有最大值，最大值是多少？此时（2）中的抛物线的顶点P是否在直线EF上，请说明理由.

Answer 1

解：（1）依题意得 解得 

∴点A的坐标为(4,4).                 …………………………3分

   （2）直线y=与x轴交点B的坐标为（6，0）.

        设过A、B、O的抛物线的表达式为y=ax²+bx，

        依题意得解得

           =，∴点P坐标（3,）.  ………………6分

  （3）设直线MF、NE与y轴交于点P、Q， 则△OQE是等腰直角三角形.

        ∵OE=1×t= t， ∴EQ=OQ=，∴E（，）.

        ∵EF∥y轴， ∴PF=，=12－.

        ∴EF=PQ=12－－=.

          ①当EF＞QE时， 即＞，解得.

          ∴当时，()=.

          ②当EF≤QE时,即≤，解得 .

           ∴当时，S=EF²=()² . ………………………10分

         （4）当时， =.

          ∴当时，S_最大=12 .

           当时，S_最大=()²=9.

           ∴当时，S_最大=12.               ……………………………11分

           当时，E（2，2），F（2，8），

∵P（3，），∴点P不在直线EF上.     ……………………………12分