Question

3．（2017，石家庄裕华区模拟）在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考：

课本研究三角形中位线性质的方法 已知：如图①，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点．求证：DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC． 证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC．…则△ADE≌△CFE．∴…

请你利用小亮的发现解决下列问题：
（1）如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．

请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程：
（2）解决问题：如图⑤，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线．过点D，E作DF∥EG，分别交BC于点F，G，过点A作MN∥BC，分别与FD，GE的延长线交于点M，N，则四边形MFGN周长的最小值是8+10$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）先判断出△BDF≌△CDM，得出MC=BF，再判断出AC=MC，即可得出结论
（2）先判断出四边形DEGF，DENM，FGNM是平行四边形，即：MN=FG=DE=4再判断出平行四边形FGNM是矩形时，四边形MFGN的周长最小，最后用锐角三角函数求出MF=GN=5$\sqrt{2}$，求和即可得出结论

解答 证明：（1）如图1，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，BD=CD，∠BDF=∠CDM，DF=DM．
∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA．
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC．
∴AC=MC．
∴BF=AC．

（2）如图2，
在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，
∵DE是△ABC的中位线．
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4，DE∥BC
∵DF∥EG，MN∥BC，
∴四边形DEGF，DENM，FGNM是平行四边形，
∴MN=FG=DE=4，
∴要四边形MFGN周长的最小只有MF=NG最小，
即：MF⊥BC，
∴平行四边形FGNM是矩形，
过点A作AP⊥BC于P，
∴AP=MF=NG，
在Rt△ABP中，∠B=45°，AB=10，
∴AP=5$\sqrt{2}$，
∴MF=NG=5$\sqrt{2}$，
即四边形MFGN周长的最小值是8+10$\sqrt{2}$．
故答案为：8+10$\sqrt{2}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，解（1）的关键是判断出MC=BF，解（2）的关键是判断出四边形MFGN是矩形时周长最小，是一道中等难度的题目．