Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC=5，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），
∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且sinα=$\frac{3}{5}$．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD=2时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD的长一定为4；
④0＜CE≤3.2．
其中正确的结论是①④．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②由BD=2，则DC=5，证得对应边不相等，△ABD与△DCE不全等；
③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；
④作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG=CG，再利用余弦的定义计算出BG=8，则BC=2BG=16，设BD=x，则CD=16-x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值，于是得到结论．

解答 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD；
故①正确，

②作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=5，∠ADE=∠B=α，sinα=$\frac{3}{5}$，
∴cosB=cosα=$\sqrt{1-sinα}$=$\frac{4}{5}$，
∴BG=ABcosB，
∴BC=2BG=2ABcosB=2×5×$\frac{4}{5}$=8，
∵BD=2，
∴DC=6，
∴AB≠DC，
∴△ABD与△DCE不全等，故②错误，

③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=5，
∴BD=4，
当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=5，
∴cosB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{25}{4}$．
故③错误．
∵AG⊥BC于G，如图，
∵AB=AC，
∴BG=CG，
∵∠ADE=∠B=α，
∴cosB=cosα=$\frac{BG}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴BG=$\frac{4}{5}$×5=4，
∴BC=2BG=8，
设BD=x，则CD=8-x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即α+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BD}{CE}$，即$\frac{5}{8-x}$=$\frac{x}{CE}$，
∴CE=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x
=-$\frac{1}{5}$（x-4）²+3.2，
当x=4时，CE最大，最大值为3.2．
∴0＜CE≤3.2．故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，二次函数的最大值问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．