Question

已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程：x²-（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，第三边BC的长为5．求k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何图形问题

分析：根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值．

解答：解：分两种情况：
①当AB=AC时，△=b²-4ac=0，
∴（2k+1）²-4k（k+1）=0
解得k不存在；
②当AB=BC时，即AB=5，

5+AC=2k+1 5AC=k(k+1)

解得

k=4 AC=4

或

k=5 AC=6

，
则△ABC的周长为：5+5+4=14或5+5+6=16．
综上所述，当k=4或5时，△ABC是等腰三角形．其相应的△ABC的周长是14或16．

点评：本题考查了解一元二次方程的方法，以及实际应用，注意分论讨论思想．