Question

在等腰梯形中，，一条直线与下底相交于点，且直线将等腰梯形的周长平分。 

（1）如图，若直线与腰相交于点，设为，试用含的代数式表示的面积；

（2）是否存在直线将等腰梯形的周长和面积同时平分？若存在，指出符合要求的所有直线的特征；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点作，垂足为；过点作，垂足为

由题意知，的周长为12，。

∴

，即，

∴

∴。

（2）存在。

 ①当与腰相交时，

，

∴由（1）得　　解这个方程，得

 由题意知，，故只取。

 当时，  故直线过点，且。

②当与腰相交时，由对称性知，过点，且。

③当与相交时，作，垂足为，连接，，其交点为，

由对称性知。过点的直线均符合条件。

综上所述。过点且与下底相交的直线均能将等腰梯形的周长和面积同时平分。