Question

15．已知，如图，直线y=$\frac{1}{2}$x-4与x轴，y轴分别交于B、A，将该直线绕A点顺时针旋转α，且tanα=$\frac{1}{4}$，旋转后与x轴交于C点．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使有一动点能在最短的时间内从点A出发，沿着A-P-C的运动到达C点，并且在AP上以每秒2个单位的速度移动，在PC上以每秒$\sqrt{85}$个单位移动，试用尺规作图找到P点的位置（不写作法，保留作图痕迹），并求出所用的最短时间t．

Answer 1

分析 （1）过B作BD⊥AB交AC于D，过D作DE⊥x轴于E，则△AOB∽△BED，得到$\frac{AO}{BE}$=$\frac{OB}{ED}$=$\frac{AB}{BD}$，求出点D坐标，求出AC的解析式即可求出点C坐标．
（2）过点（0，4）作AC的垂线垂足为Q，该垂线与x轴的交点即为P点．设点F（0，4），则A、F关于x轴对称，所以AP=FP，首先证明t=$\frac{FQ}{2}$，由此推出
点P就是所求的点，此时动点能在最短的时间内从点A出发，沿着A-P-C的运动到达C点，求出FQ的长即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{1}{2}$x-4与x轴，y轴分别交于B、A，
∴A（0，-4），B（8，0），
过B作BD⊥AB交AC于D，过D作DE⊥x轴于E，则△AOB∽△BED
∴$\frac{AO}{BE}$=$\frac{OB}{ED}$=$\frac{AB}{BD}$，
∵OA=4，OB=8，∠BAD=α，tanα=$\frac{1}{4}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴BE=1，DE=2
∴D（9，-2）∴直线AC解析式为y=$\frac{2}{9}$x-4
∴C（18，0）．

（2）过点（0，4）作AC的垂线垂足为Q，该垂线与x轴的交点即为P点．
设点F（0，4），则A、F关于x轴对称，所以AP=FP，
∵S_△ACF=$\frac{1}{2}$AF•OC=$\frac{1}{2}$AC•FQ，AF=8，OC=18，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+1{8}^{2}}$=2$\sqrt{85}$，
∴FQ=$\frac{72}{\sqrt{85}}$，
∵△CQP∽△COA，
∴$\frac{CP}{AC}$=$\frac{PQ}{OA}$，
∴$\frac{PC}{2\sqrt{85}}$=$\frac{PQ}{4}$，
∴$\frac{PC}{\sqrt{85}}$=$\frac{PQ}{2}$，
∴t=$\frac{AP}{2}$+$\frac{PC}{\sqrt{85}}$=$\frac{FP}{2}$+$\frac{PQ}{2}$=$\frac{FQ}{2}$，
∵FQ是垂线段，
∴点P就是所求的点，此时动点能在最短的时间内从点A出发，沿着A-P-C的运动到达C点，
∴t=$\frac{36}{85}$$\sqrt{85}$．

点评 本题考查一次函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用相似三角形性质，根据垂线段最短，找到点P的位置，属于中考压轴题．