Question

17．感知：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE度数；
探究：如图②，在△ABC中，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC，其他条件不变，求∠DFE的度数”；
拓展：如图③，若把△ABC变成四边形ABEC，把AE⊥BC变成EA平分∠BEC，其他条件不变，∠DAE的度数是否变化，并且说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（3）利用AE平分∠BEC，AD平分∠BAC，求出∠DFE=15°即是最好的证明．

解答 解：（1）∵∠B=40°，∠C=70°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=35°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=75°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADE=15°．

（2）同（1），可得，∠ADE=75°，
∵FE⊥BC，
∴∠FEB=90°，
∴∠DFE=90°-∠ADE=15°．

（3）结论：∠DAE的度数大小不变．
证明：∵AE平分∠BEC，
∴∠AEB=∠AEC，
∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE，
∵∠CAE=∠CAD-∠DAE，∠BAE=∠BAD+∠DAE，
∴∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴2∠DAE=∠C-∠B=30°，
∴∠DAE=15°．

点评 本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．