Question

如图1，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分线，已知∠B=20°，∠C=50°
（1）求∠EAD的度数；
（2）你发现∠EAD与∠B、∠C之间有何关系？
（3）若将“题中的条件∠B=20°”改为“∠B=100°”如图2，其它条件不变，则∠EAD与∠B、∠C之间又有何关系？请说明理由．
（4）若将“题目中的条件∠B=20°，∠C=50°”改为“∠EAD=35°，∠BAC=50°”，其它条件不变，求∠B、∠C的度数．

Answer 1

解：（1）∵∠B=20°，∠C=50°，
∴∠BAC=110°．
又AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=55°，
∴∠AED=75°，
又AD是BC边上的高，
∴∠EAD=15°，

（2）由图知，∠DAE=∠BAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD
=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）
=90°-∠B-∠C-90°+∠C
=（∠C-∠B），

（3）由图知：∠EAD=∠BAE+∠BAD=∠BAC+∠BAD
=（180°-∠ABC-∠C）+（∠ABC-90°）
=90°-∠ABC-∠C+∠ABC-90°
=（∠ABC-∠C），

（4）根据（3）得：∠EAD=（∠B-∠C）=35°，
根据三角形内角和定理得：∠B+∠C=130°，
解得：∠B=100°，∠C=30°．
分析：（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠AED，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解，
（2）根据（1）即可得出∠EAD与∠B、∠C之间的关系，
（3）根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论，
（4）根据（3）中结论及三角形内角和定理即可得出答案．
点评：本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系，难度适中．