Question

10．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，E是边AD中点，F是边AB上一点（不与点A重合）延长FE交CD的延长线于点G，连接FD，AG．
（1）求证：四边形AFDG是平行四边形；
（2）当AF为何值时，四边形AFDG是矩形，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得GD∥AF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GDE=∠FAE，∠DGE=∠AFE，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角角边”证明△GDE和△FAE全等，根据全等三角形对应边相等得到GD=FA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）根据矩形的性质得到DF⊥AB，再求出∠ADF=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴GD∥AF，
∴∠GDE=∠FAE，∠DGE=∠AFE，
∵点E是AD中点，
∴DE=AE，
在△GDE和△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠FAE}\\{∠DGE=∠AFE}\\{DE=AE}\end{array}\right.$，
∴△GDE≌△FAE（AAS），
∴GD=FA，
∴四边形AFDG是平行四边形；
（2）AF=1．
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2，
∵平行四边形AFDG是矩形，
∴DF⊥AB，
即∠DFA=90°，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=1．

点评 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口．