Question

11．已知：如图，正比例函数y=k₁x的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象相交于点A、B，点A在第一象限，且点A的横坐标为1，作AH垂直于x轴，垂足为点H，S_△AOH=1．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）如果△OAC是以OA为腰的等腰三角形，且点C在x轴上，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A的横坐标可得出OH的长度，从而结合△AOH的面积可得出AH的长度；从而得出点A的坐标，将点A的坐标代入正比例函数及反比例函数解析式，可得出两个函数的解析式；
（2）分两种情况讨论，①OA=OC，②OA=AC，分别求出点C的坐标即可．

解答 解：（1）∵点A的横坐标为1，AH⊥x轴，
∴OH=1，
∵S_△AOH=1，
∴$\frac{1}{2}$OH×AH=1，
解得：AH=2．
∴点A的坐标为A（1，2），
∵点A（1，2）在正比例函数y=k₁x的图象上，
∴2=k₁•1，
解得：k₁=2．
∴所求的正比例函数的解析式为y=2x，
∵点A（1，2）在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，
∴2=$\frac{{k}_{2}}{1}$，
解得k₂=2．
∴所求的反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．

（2）由题意，设点C的坐标为（a，0）．
∵△OAC是以OA为腰的等腰三角形，
∴OA=OC或OA=AC，
①当OA=OC时，a=±$\sqrt{5}$，
即可得：点C的坐标为（$\sqrt{5}$，0）或（-$\sqrt{5}$，0）．
②当OA=AC时，a=2；a=0，
∵点C与点O不重合，
∴a=0不合题意舍去，
∴点C的坐标为（2，0），
综上所述：点C的坐标为（$\sqrt{5}$，0）或（-$\sqrt{5}$，0）或（2，0）．

点评 本题属于反比例函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式等腰三角形的性质，综合性较强，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．