B
分析：根据已知条件，得a的可能值是1，2，3，4，5，再结合三角形的三边关系，对应求得c的值即可．
解答：∵三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b＜c，如果b=5，
∴a=1，2，3，4，5，
当a=1，b=5时，根据三角形的三边关系，得4＜c＜6，再根据已知条件，知不存在；
当a=2，b=5时，则c=6；
当a=3，b=5时，则c=6，7；
当a=4，b=5时，则c=6，7，8；
当a=1，b=5时，则c=6，7，8，9．
故选B．
点评：此题要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析计算．
