Question

如图，已知反比例函数y1=

k

x

和一次函数y₂=ax+b的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为-1．过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）结合图象直接写出：当y₁＞y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由A的横坐标得出OB的长，再由三角形AOB的面积为1，利用三角形面积公式求出AB的长，得出A的坐标，将A的坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，确定出反比例函数解析式；将D的纵坐标代入反比例函数解析式中求出D的横坐标，确定出D的坐标，将A和D的坐标代入一次函数解析式中，得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式；
（2）由A和D的横坐标及原点横坐标0，将x轴分为四个范围，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时x的范围即可．

解答：解：（1）由A的横坐标为1，得到OB=1，
∵△AOB的面积为1，
∴

1

2

AB•OB=1，即

1

2

AB=1，
解得：AB=2，
∴A（1，2），
将A的坐标代入反比例函数解析式得：2=

k

1

，
解得：k=2，
∴反比例函数解析式为y₁=

2

x

；
又D的纵坐标为-1，且D在反比例函数图象上，
∴将y=-1代入反比例解析式得：-1=

2

x

，
解得：x=-2，
∴D（-2，-1），
将A和D的坐标代入一次函数y₂=kx+b中得：

k+b=2 -2k+b=-1

，
解得：

k=1 b=1

，
∴一次函数解析式为y₂=x+1；

（2）由图象可知：当y₁＞y₂时，x的取值范围x＜-2或0＜x＜1．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用了待定系数法及数形结合的思想，灵活运用待定系数法是解本题的关键．