Question

如图：在长方形ABCD中，∠B=90°点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，
（1）如图1：当BE=EC=3，AB=8时，求EF的长．
（2）如图2：若BG=EG，求证：AG=BG．
（3）如图3：若BG=EG=FG=BF，求：

AC

BC

的值．

Answer 1

考点：四边形综合题,圆周角定理

专题：

分析：（1）求EF的长．EF为△AEC的高，所以我们可以利用相等，

1

2

AB•EC=

1

2

AC•EF通过其他边长，求得EF长度．
（2）证明AG=BG，只需得到∠GAB=∠GBA，已知中BG=EG，即可得出∠GBE=∠GEB，而在Rt△ABE中，∠GAB、∠GBA恰好为等角的余角．
（3）上一问中的条件在本问中又一次出现，所以上一问结论的本问使用的可能性较大，往往这是求解题目的突破口．那根据BG=EG=FG=BF和上问的AG=BG，可退得AG=BG=EG=FG=BF，可发现若G为圆心，ABEF四点都在圆上，且△BGF为等边三角形．∠BAF为

BEF

所对的圆周角，即∠BAC=

1

2

•60°=30°，此时

AC

BC

=

1

sin∠BAC

，结论显而易见．

解答：（1）解：∵BE=EC=3
∴BC=6
在Rt△ABC中
∵AB=8
∴AC=10
∴S△AEC=

1

2

AB•EC=

1

2

•8•3=12
∵S△AEC=

1

2

AC•EF=

1

2

•10•EF
∴EF=2.4
（2）证明：∵GB=GE
∴∠GBE=GEB
在Rt△ABE中
∠BAG与∠GEB互余
∵∠ABE=90°
∴∠GBA与∠GBE互余
∴∠GAB=∠GBA
∴AG=BG
（3）解：∵BG=EG
∴AG=BG在Rt△ABC中

BC

AC

=sin∠BAC=sin30°=

1

2

∵BG=EG=FG=BF
∴AG=BG=EG=FG=EF
∴A、B、E、F四点共圆且△BGF为等边三角形
∴∠BGF=60°
∴∠BAF=

1

2

•∠BGF=30°
在Rt△ABC中
∵

BC

AC

=sin∠BAC=sin30°=

1

2

（如果没接触过三角函数，可以用“在含30°角的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”，也可以得出结论）
∴

AC

BC

=2

点评：本题前两问难度不高，都属于基础题目．第三问相对技巧性较强，且图示不标准不容易得到思路．但是对于综合类题目，也有非常有效的做题技巧．一、多问时，注意如果本问题目中有“若…”的情况，一般来讲结论他问不能使用，但如果下问的“若…”包含前问的条件，这个时候解题往往要利用上文的结论．把精力放在这些点上，突破难题就容易的多．