Question

已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且∠AED=90°．
（1）如图①，如果AB=6，BE=4，CE=12，求CD的长．
（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据两角对应相等证明Rt△ABE∽Rt△ECD，然后根据相似三角形的对应边的比相等求得CD的长；
（2）可以证明Rt△ABE≌Rt△ECD，得到对应线段相等，根据图形就可得到线段之间的和差关系．

解答：解：（1）∵∠AED=90°
∴∠AEB+∠DEC=90°
又∵∠DEC+∠EDC=90°
∴∠AEB=∠EDC
又∵∠ABE=∠ECD=90°
∴△ABE∽△ECD
∴

AB

EC

=

BE

CD

即：

6

12

=

3

CD

∴CD=8．
（2）（Ⅰ）猜想：AB+CD=BC．
证明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°-∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠AEB．
∴∠BAE=∠CED．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠ECD=90°．
由已知，有AE=ED，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，

∠ABE=∠ECD=900 ∠BAE=∠CED AE=ED

，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．
∴AB=EC，BE=CD．
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC，
∴BC=AB+CD；
（Ⅱ）当AB＞CD，BC=AB-CD；
当AB＜CD，BC=CD-AB．

点评：此题考查了圆的有关知识、相似三角形的性质和判定以及全等三角形的性质和判定．