Question

如图，点O在边长为6

2

的正方形ABCD的对角线AC上，以O为圆心OA为半径的⊙O交AB于点E．
（1）⊙O过点E的○切线与BC交于点F，当0＜OA＜6时，求∠BFE的度数；
（2）设⊙O与AB的延长线交于点M，⊙O过点M的切线交BC的延长线于点N，当6＜OA＜12时，利用备用图作出图形，求∠BNM的度数；
（3）在（2）条件下，求出当点O与C点重合时DM的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：（1）连结OE，根据正方形的性质得∠2=45°，再由OE=OA得到∠1=∠2=45°，然后根据切线的性质得∠OEF=90°，则∠BEF=45°，易得∠BFE=45°；
（2）连结OM，由OM=OA得到∠OMA=∠OAM=45°，再根据切线的性质得∠OMN=90°，则∠BMN=45°，易得∠BNM=45°；
（3）连结CM、DM，由于∠CMA=∠CAM=45°，则△CMA为等腰直角三角形，所以AM=

2

AC，根据正方形的性质由正方形ABCD的边长为6

2

得到AC=

2

×6

2

=12，所以AM=12

2

，然后在Rt△ADM中根据勾股定理计算DM．

解答：解：（1）连结OE，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠2=45°，
∵OE=OA，
∴∠1=∠2=45°，
∵EF为⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∴∠OEF=90°，
∴∠BEF=45°，
而∠B=90°，
∴∠BFE=45°；
（2）连结OM，如图2，
∵OM=OA，
∴∠OMA=∠OAM=45°，
∵MN为⊙O的切线，
∴OM⊥MN，
∴∠OMN=90°，
∴∠BMN=45°，
而∠MBN=90°，
∴∠BNM=45°；
（3）连结CM、DM，如图3，
∵∠CMA=∠CAM=45°，
∴△CMA为等腰直角三角形，
∴AM=

2

AC，
∵正方形ABCD的边长为6

2

，
∴AC=

2

×6

2

=12，
∴AM=12

2

，
在Rt△ADM中，DM=

AM2+AD2

=

(12 2 )2+(6 2 )2

=6

10

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和正方形的性质．