Question

如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，AD=BE，F是CD中点且EF⊥CD．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）求证：△CED是直角三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由F为CD的中点，且EF垂直于CD，得到EF为CD的垂直平分线，得到DE=CE，再由AD与BC平行，且∠A为直角，得到∠B为直角，利用HL即可得证；
（2）由（1）Rt△ADE≌Rt△BEC，得到∠AED=∠BCE，利用同角的余角相等及平角定义即可得证．

解答：证明：（1）∵F是CD中点，且EF⊥CD，
∴CE=DE，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠A=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，

AD=BE CE=DE

，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；       
（2）∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠CED=180°-90°=90°，
∴△CED是直角三角形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．