Question

12．有两个一元二次方程：M：ax²+bx+c=0，N：cx²+bx+a=0，其中a≠c，以下列四个结论中，错误的是（　　）

• A． 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
• B． 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
• C． 如果5是方程M的一个根，那么$\frac{1}{5}$是方程N的一个根
• D． 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

Answer 1

分析 根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；根据“$\frac{c}{a}$和$\frac{a}{c}$符号相同，$\frac{b}{a}$和$\frac{a}{b}$符号也相同”，即可得出B正确；将x=5代入方程M中，方程两边同时除以25即可得出$\frac{1}{5}$是方程N的一个根，C正确；用方程M-方程N，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出D错误．综上即可得出结论．

解答 解：A、在方程ax²+bx+c=0中△=b²-4ac，在方程cx²+bx+a=0中△=b²-4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、∵$\frac{c}{a}$和$\frac{a}{c}$符号相同，$\frac{b}{a}$和$\frac{a}{b}$符号也相同，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
C、∵5是方程M的一个根，
∴25a+5b+c=0，
∴a+$\frac{1}{5}$b+$\frac{1}{25}$c=0，
∴$\frac{1}{5}$是方程N的一个根，正确；
D、M-N得：（a-c）x²+c-a=0，即（a-c）x²=a-c，
∵a≠c，
∴x²=1，解得：x=±1，错误．
故选D．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．