Question

如图，在△ABC中，∠C＝，∠A＝，O为AB上一点，BO＝m，⊙O的半径为．

(1)当m为何值时，直线BC与⊙O相切？

(2)当m在什么范围内取值时，直线BC与⊙O相离？相交？

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)如上图，过O作OD⊥BC于D． 　　∵∠C＝，OD⊥BC， 　　∴OD∥AC． 　　∴∠BOD＝． 　　∵cos∠BOD＝，OB＝m， 　　∴OD＝OB·cos∠BOD＝m＝m． 　　当m＝时，m＝．因此，当m＝时，OD＝r，直线BC与⊙O相切． 　　(2)由(1)可知，圆心O到直线BC的距离d＝m，r＝． 　　∵当d＞r时，m＞，m＞，∴当m＞时，直线BC与⊙O相离， 　　∵当d＜r时，m＜，m＜，∴当m＜时，直线BC与⊙O相交． 　　[剖析]已知直线BC与⊙O的位置关系，求m的取值范围的关键是用含m的代数式表示圆心O到直线BC的距离OD的长，然后根据⊙O与直线BC相切时，OD＝r，建立方程；根据⊙O与直线BC相离时，d＞r，建立不等式；根据⊙O与直线BC相交时，d＜r，建立不等式．然后通过解方程(不等式)求出m的值(取值范围)．

提示：

[拓展延伸] 　　涉及直线和圆的位置关系的问题，常常先求出圆心到直线的距离d(或圆的半径r)，然后将直线和圆的位置关系问题转化成比较d与r的大小问题．