Question

3．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+2与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B（点B在点A右侧）；
（1）求该抛物线的顶点D的坐标；
（2）求四边形CADB的面积．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+2中求出b，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式即可得到D点坐标；
（2）通过计算自变量为0时的函数值得到C点坐标，通过解$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2=0可得到B点坐标，然后根据三角形面积公式，利用四边形CADB的面积=S_△CAB+S_△DAB进行计算即可．

解答 解：（1）把A（1，0）代入y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+2得$\frac{1}{2}$+b+2=0，解得b=-$\frac{5}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2，
因为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{8}$，
所以抛物线的顶点D的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{8}$）；
（2）当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2=2，则C（0，2），
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2=0，解得x₁=1，x₂=4，则B（4，0），
所以四边形CADB的面积=S_△CAB+S_△DAB=$\frac{1}{2}$×（4-1）×2$\frac{1}{2}$×（4-1）×$\frac{9}{8}$=$\frac{75}{16}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．