【题目】如图,直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(﹣3,0),点A的坐标为(﹣2.5,0).
(1)求k的值;
(2)若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,试写出△OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)探究:当点P运动到什么位置(求点P的坐标)时,△OPA的面积为5,并说明理由.
【答案】(1)k的值为2;(2)△OPA的面积S与x的函数关系式为S=2.5x+7.5(﹣3<x<0);(3)点P运动到(﹣1,4)或(﹣5,﹣4)时,△OPA的面积为5.
【解析】
试题分析:(1)由直线与x轴的交点的坐标,代入即可求出k的值;(2)过点P作x轴的垂线段,能够发现P点到x轴的距离为P点的纵坐标,代入直线方程用x表示出来P点的纵坐标,再套用三角形面积公式即可得出结论,再由点P在第二象限,即可确定x的取值范围;(3)分两种情况,一种P点在x轴上方,一种在x轴下方,分类讨论即可得出结论.
解:(1)∵点E(﹣3,0)在直线y=kx+6的图象上,
∴有0=﹣3k+6,解得:k=2.
故k的值为2.
(2)过点P作PB⊥x轴,垂足为点B,如图1.
∵点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点,
∴P点横坐标介于E、F的横坐标之间,
∴﹣3<x<0.
∵点P在直线y=2x+6上,
∴y=2x+6.
∵PB⊥x轴,且P点在第二象限,且点A的坐标为(﹣2.5,0),
∴PB=y=2x+6,OA=2.5.
∴△OPA的面积S=OAPB=2.5x+7.5.
故△OPA的面积S与x的函数关系式为S=2.5x+7.5(﹣3<x<0).
(3)∵令(2)中的关系式中x=0,解得S=7.5>5,
∴若点P在x轴上方时,必在第二象限,点P在x轴下方时,必在第三象限.
①当点P在x轴上方时,有△OPA的面积S=2.5x+7.5,
令S=5,即2.5x+7.5,解得:x=﹣1.
此时点P的坐标为(﹣1,4);
②当点P在x轴下方时,如图2,
此时PB=﹣y=﹣2x﹣6,
△OPA的面积S=OAPB=×2.5×(﹣2x﹣6)=﹣2.5x﹣7.5=5,
解得:x=﹣5.
此时点P的坐标为(﹣5,﹣4).
综上可知:点P运动到(﹣1,4)或(﹣5,﹣4)时,△OPA的面积为5.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.
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【题目】对于函数y=﹣2x+1,下列结论正确的是( )
A.它的图象必经过点(﹣1,2)
B.它的图象经过第一、二、三象限
C.当x>1时,y<0
D.y的值随x值的增大而增大
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,点D是BC的中点,过点C作CE⊥AB,垂足为点E,交AD于点F.
(1)求证:AE=CE;
(2)求证:△AEF≌△CEB.
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【题目】如图,已知BC是⊙O的直径,AC切⊙O于点C,AB交⊙O于点D,E为AC的中点,连结DE.
(1)若AD=DB,OC=5,求切线AC的长;
(2)求证:ED是⊙O的切线.
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