Question

已知关于x的方程x²-4|x|+k=0．
（1）若方程有四个不同的整数根，求k的值求出这四个根；
（2）若方程有三个不同的整数根，求k的值及这三个根．

Answer 1

解：（1）方程x²-4|x|+k=0，有四个不同的整数根，则关于|x|的方程|x|²-4|x|+k=0有两个不同的正整数根，
∴△=16-4k＞0，即k＜4，
且两根之积大于0，即k为正整数．
∴k=1，2，3．
当k=1，k=2时，原方程无整数解；
当k=3时，|x|²-4|x|+k=0，
解得：|x|=1或3．
∴当k=3时，原方程有四组不同的解：x₁=1，x₂=-1，x₃=3，x₄=-3．

（2）原方程有三组不同的整数根时，关于方程|x|²-4|x|+k=0必有一根为0，
∴k=0，
∴|x|²-4|x|=0．
∴|x|=0，或|x|=4．
∴x₁=0，x₂=4，x₃=-4
分析：（1）根据已知条件x²-4|x|+k=0，有四个不同的整数根，关于|x|的方程|x|²-4|x|+k=0有两个不同的正整数根，再利用根的判别式得出k的取值范围，得出符合条件的值．
（2）根据已知条件x²-4|x|+k=0，有三个不同的整数根，方程|x|²-4|x|+k=0必有一根为0，得出x的值．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程整数根的求法，题目比较简单．