Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，将A、D重合折叠，折痕交AB于E，交AC于F，连接DE、DF，
（1）判断四边形AEDF的形状并说明理由；
（2）若AB=6，AC=8，求DF的长．

Answer 1

解：（1）四边形AEDF是菱形．
理由：由折叠的性质可得：AE=ED，AF=FD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∴AE∥DF，AF∥ED，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE=DF，AF=DE，
∴AE=ED=DF=AF，
∴四边形AEDF是菱形；

（2）设DF=x，则AF=x，
∴CF=AC-AF=8-x，
∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CBA，
∴，
即，
解得：x=，
∴DF=．
分析：（1）首先由折叠的性质可得：AE=ED，AF=FD，又由AD平分∠BAC，易证得四边形AEDF是平行四边形，则可得AE=ED=DF=AF，继而可证得四边形AEDF是菱形；
（2）首先设DF=x，由DF∥AB，即可证得△CDF∽△CBA，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得DF的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．