Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB=3cm，则BE=

6

cm．
（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=BE，而DB=AB=3cm，所以BE=6cm；
（3）根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，而∠3=∠4，然后根据三角形内角和定理即可得到∠EBD=∠ECD=90°．

解答：（1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CD=CE，CA=CB，
∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴∠ECD+∠DCB=∠DCB+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，

CD=CE ∠ACD=∠BCE CA=CB

，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵DB=AB=3cm，
∴BE=2×3cm=6cm；

（3）解：BE与AD垂直．理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠1=∠2，
而∠3=∠4，
∴∠EBD=∠ECD=90°，
∴BE⊥CD．
故答案为6．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．