Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，以AE为直径画圆，经过点B、C，求证：
（1）∠BAE=∠CAD；
（2）试说明：以等腰三角形的一腰为直径的圆平分底边．

Answer 1

分析：（1）连BE，利用圆周角定理及等角的余角相等即可得到所求的结论．
（2）根据题意作图，通过证明三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，从而得到结论．

解答：证明：（1）连BE，
∵AE为圆的直径，
∴∠ABE=90°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°．
∵

AB

=

AB

，
∴∠ACD=∠AEB．
∴∠CAD=90°-∠ACD=90°-∠AEB=∠BAE．

（2）如图，AB=AC，AB为圆O直径，BC交⊙O于D点，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
∴△ADC≌△ADB．
∴BD=CD．

点评：本题利用了圆周角定理，直角三角形的性质及等腰三角形的性质求解．