Question

12．如图甲，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；
（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．

解答 解：
（1）∵直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
∴B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；
（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线对称轴为x=2，P（2，-1），
设M（2，t），且C（0，3），
∴MC=$\sqrt{{2}^{2}+（t-3）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-6t+13}$，MP=|t+1|，PC=$\sqrt{{2}^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，
①当MC=MP时，则有$\sqrt{{t}^{2}-6t+13}$=|t+1|，解得t=$\frac{3}{2}$，此时M（2，$\frac{3}{2}$）；
②当MC=PC时，则有$\sqrt{{t}^{2}-6t+13}$=2$\sqrt{5}$，解得t=-1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；
③当MP=PC时，则有|t+1|=2$\sqrt{5}$，解得t=-1+2$\sqrt{5}$或t=-1-2$\sqrt{5}$，此时M（2，-1+2$\sqrt{5}$）或（2，-1-2$\sqrt{5}$）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，$\frac{3}{2}$）或（2，7）或（2，-1+2$\sqrt{5}$）或（2，-1-2$\sqrt{5}$）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，

设E（x，x²-4x+3），则F（x，-x+3），
∵0＜x＜3，
∴EF=-x+3-（x²-4x+3）=-x²+3x，
∴S_△CBE=S_△EFC+S_△EFB=$\frac{1}{2}$EF•OD+$\frac{1}{2}$EF•BD=$\frac{1}{2}$EF•OB=$\frac{1}{2}$×3（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
即当E点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）时，△CBE的面积最大．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中设出M点的坐标，利用等腰三角形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出△CBE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．