Question

9．如图，在直角坐标系中，已知点E（3，2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上．过动点P（t，0）作x轴的垂线分别与该双曲线和直线y=-$\frac{1}{2}$x交于A、B两点，以线段AB为对角线作正方形ADBC，当正方形ADBC的边（不包括正方形顶点）经过点E时，则t的值为2或$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 存在两种情况：①当AD经过点E时，先求出双曲线的解析式，再求出直线AD的解析式，把A（t，$\frac{6}{t}$）代入一次函数解析式即可求出t的值；
②当BD经过点E时，先求出直线BD的解析式，再把B（t，-$\frac{1}{2}$t）代入直线BD的解析式即可求出t的值．

解答 解：存在两种情况：①当AD经过点E时，如图1所示：
∵点E（3，2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=3×2=6，
∴双曲线解析式为：y=$\frac{6}{x}$，
∵四边形ADBC是正方形，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DAC=45°，
∵AB⊥x轴，
∴设直线AD的解析式为y=-x+b，
把点E（3，2）代入得：b=5，
∴直线AD的解析式为：y=-x+5，
设A（t，$\frac{6}{t}$），代入y=-x+5得：-t+5=$\frac{6}{t}$，
解得：t=2，或t=3（不合题意，舍去），
∴t=2；
②当BD经过点E时，如图2所示：
∵BD⊥AD，
∴设直线BD的解析式为：y=x+c，
把点E（3，2）代入得：c=-1，
∴直线BD的解析式为：y=x-1，
设B（t，-$\frac{1}{2}$t），代入y=x-1得：
-$\frac{1}{2}$t=t-1，
解得：t=$\frac{2}{3}$；
综上所述：当正方形ADBC的边（不包括正方形顶点）经过点E时，t的值为：2或$\frac{2}{3}$；
故答案为：2或$\frac{2}{3}$．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、坐标与图形性质、正方形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，需要进行分类讨论，求出相关直线的解析式才能得出结果．