Question

1．如图，已知△ABC，AB=6、AC=8，点D是BC边上一动点，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）如图①，若∠AEF=∠C，求证：BC与⊙O相切；
（2）如图②，若∠BAC=90°，BD长为多少时，△AEF与△ABC相似．

Answer 1

分析 （1）连接DF，根据同弧所对的圆周角相等得∠AEF=∠ADF，则∠ADF=∠C，根据直径所对的圆周角等于90度，得∠AFD=90°，可证明∠ADC=90°，从而证明BC与⊙O相切；
（2）分两种情况：情况一：若△AEF∽△ACB，则∠AEF=∠C，由（1）知BC与⊙O相切，即可求得BD=3.6，情况二：若△AEF∽△ABC，则∠AEF=∠B，所以EF∥BC，可证明△AEO∽△ABD，进而证明△AEF∽△ABC得出BD=2EO=5即可．

解答 证明：（1）连接DF，在⊙O中∠AEF=∠ADF，
又∵∠AEF=∠C，
∴∠ADF=∠C，
∵AD为直径，
∴∠AFD=90°，
∴∠CFD=90°，
∴∠C+∠CDF=90°
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADC=90°，
又∵AD为直径，
∴BC与⊙O相切；
（2）分两种情况：
情况一：若△AEF∽△ACB，则∠AEF=∠C，由（1）知BC与⊙O相切，
∴BD=3.6；
情况二：若△AEF∽△ABC，
∴∠AEF=∠B，
∴EF∥BC，
∵∠EAF为直角，
∴EF为直径，
∴△AEO∽△ABD，
∴$\frac{EA}{BA}$=$\frac{EO}{BD}$=$\frac{AO}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=2EO=EF，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{EA}{BA}$=$\frac{1}{2}$，
即BD=2EO=EF=$\frac{1}{2}$BC=5．

点评 本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质，是一道综合题，难度不大，分类讨论思想的运用是解题的关键．