Question

7．如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在BC的延长线上，EF=EB，
EF与CD相交于点G；
（1）求证：EG•GF=CG•GD；
（2）联结DF，如果EF⊥CD，那么∠FDC与∠ADC之间有怎样的数量关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先证明△BCE≌△DCE，得∠EDC=∠EBC；利用此条件再证明∠DGE∽△FGC，即可得到EG•GF=CG•GD．
（2）利用第（1）题的结论，可证明△DGE∽△FGC，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC与∠FDC的关系．

解答 解：（1）证明：∵点E在菱形ABCD的对角线AC上，
∴∠ECB=∠ECD，
∵BC=CD，CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴∠EDC=∠EBC，
∵EB=EF，
∴∠EBC=∠EFC；
∴∠EDC=∠EFC；
∵∠DGE=∠FGC，
∴△DGE∽△FGC；
∴$\frac{EG}{CG}$=$\frac{GD}{FG}$，
∴EG•GF=CG•GD；

（2）∠ADC=2∠FDC．
证明：∵$\frac{EG}{CG}$=$\frac{GD}{FG}$，
∴$\frac{EG}{DG}$=$\frac{CG}{FG}$，
又∵∠DGF=∠EGC，
∴△CGE∽△FGD，
∵EF⊥CD，DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠DFG=90°-∠FDC，
∴∠ADC=180°-2∠DAC=180°-2（90°-∠FDC）=2∠FDC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．