Question

已知n为正整数，一次函数y=

n+1

n

x+n+1的图象与坐标轴围成的三角形外接圆面积为

25

4

π．求此一次函数的解析式．

Answer 1

分析：设一次函数与x轴，y轴的交点分别为点A与点B，令y=0和x=0，分别求出相应的x与y的值，得到点A与点B的坐标，进而得到OA与OB的长，由题意可知三角形OAB为直角三角形，故此三角形外接圆的圆心为直角三角形斜边的中点，半径为斜边的一半，由外接圆的面积即可求出圆的半径，进而得到线段AB的长，根据勾股定理列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值，把n的值即可确定出一次函数的解析式．

解答：解：设一次函数与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，
令y=0，即

n+1

n

x+n+1=0，解得x=-n，
∴A（-n，0），则OA=n，
令x=0，即y=n+1，
∴B（0，n+1），则OB=n+1，
由题意可知三角形ABO为直角三角形，
所以三角形ABO的外接圆的直径为直角三角形的斜边，圆心为斜边的中点，
所以(

|AB|

2

)2π=

25

4

π，得|AB|=5，
在直角三角形ABO中，根据勾股定理得：
|AO|²+|BO|²=|AB|²，即n²+（n+1）²=25，
解得：n=3，
所以一次函数解析式为：y=

4

3

x+4．

点评：此题考查了直角三角形的性质，以及一次函数的综合应用．找出三角形OAB的外心位置为斜边的中点，根据三角形的面积求出半径，进而求出斜边是解本题的关键．三角形外接圆的圆心即为三角形三边中垂线的交点，锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心为斜边的中点．