Question

在△ABC中，点P为BC的中点。

（1）如图（1），求证：AP<（AB+AC）；
（2）延长AB至D，使得BD=AC，延长AC至E，使得CE=AB，连接DE
①如图（2），连接BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
②请在图（3）中证明：BC≥DE。

Answer 1

解：（1）证明：延长AP至H，使得PH=AP，连接BH、HC ∵BP=PC ∴四边形ABHC是平行四边形， ∴AB=HC 在△ACH中，AH<HC+AC ∴2AP<AB+AC，即AP<（AB+AC）；
（2）①解：BE=2AP 证明：过B作BH∥AE交DE于H，连接CH、AH ∴∠1=∠BAC=60° ∵DB=AC，AB=CE， ∴AD=AE ∴△AED是等边三角形， ∴∠D=∠1=∠2=60° ∴△BDH是等边三角形 ∴BD=DH=BH=AC ∴四边形ABHC是平行四边形 ∵点P是BC的中点， ∴AH、BC互相平分于点P，即AH=2AP， 在△ADH和△EDB中 ∴△ADH≌△EDB ∴AH=BE=2AP；
②证明：分两种情况： i．当AB=AC时， ∴AB=AC=DB=CE ∴BC=DE；
II．当AB≠AC时，以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC（如图）， ∴DB=GC=AC，∠BAC=∠1，BC=DC ∵AB=CE ∴△ABC≌△CEC ∴BC=EC=DG 在△DGE中，DG+GE>DE ∴2BC>DE，即BC>DE，综上所述，BC≥DE。