Question

4．如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板AHP中含45°角的顶点放在点A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边AP所在的直线交直线BC于点D，直角边AH所在的直线交直线BC于点E．
（1）在线段BC上取一点M，连接AM，若AD平分∠BAM，求证：AE平分∠MAC；
（2）如图1当0°＜α≤45°时，求证：BD²+CE²=DE²；
（3）继续旋转三角板，当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD²+CE²=DE²仍然成立，现请你继续探究：当135°＜α＜180°时（如图2），等量关系BD²+CE²=DE²是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立．说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平分线的定义证明即可；
（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明．
（3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD²+CE2=DE²仍然成立．可以根据（2）的方法进行证明即可．

解答 证明：（1）∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=90°-45°=45°，∠DAM+∠MAE=45°，
∵AD平分∠BAM，
∴∠BAD=∠DAM，
∴∠MAE=∠EAC，
∴AE平分∠MAC；
（2）将△ABD沿AD对折得到△AFD，连接EF，

由对折可得：∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．       
（3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD²+CE²=DE²仍然成立，
 如图2，设AB与EF相交于点G．

∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，
∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，
∴AF=AC．
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-（45°-∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．
∴∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°．
∴∠DFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．

点评 本题考查了角平分线的定义，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，关键是根据折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC．